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Mathématiques ① Nombres et calcul (dans la matière maths 20 %)
Le cadrage officiel
Les nombres et le calcul constituent le sous-domaine ① de la matière mathématiques, pour un poids officiel de 7 % de l'épreuve des matières (maths 20 % au total : nombres et calcul 7 %, géométrie 7 %, mesure 4 %, traitement des données 2 %). Épreuve écrite en français, questions fermées : une seule réponse par question, un point par bonne réponse, aucun point négatif. C'est le sous-domaine où le candidat gagne le plus de points en le moins de temps, à condition de maîtriser les formules par cœur.
Le programme officiel du sous-domaine Nombres et calcul
| Contenu officiel | Ce qu'il faut savoir faire |
|---|---|
| Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ; opérations ; division euclidienne ; décomposition en produit de nombres premiers ; PGCD et PPCM ; comparaison ; puissances ; identités remarquables ; nombres sexagésimaux | Calculer, simplifier, comparer, factoriser, convertir durées et angles |
| Proportionnalité : coefficient, masse volumique, vitesse, capital, taux d'intérêt, échelle des cartes | Résoudre un problème de proportionnalité, de pourcentage ou d'échelle |
| Équations et inéquations du 1er degré ; équation du 2nd degré à une inconnue ; systèmes de deux équations du 1er degré à deux inconnues | Résoudre une équation, une inéquation (tableau de signes) et un système |
| Fonctions numériques : linéaire, affine, homographique, polynôme du second degré | Reconnaître la fonction, lire et tracer sa courbe, trouver images et antécédents |
| Dénombrement : ensembles finis, arrangements et combinaisons | Compter les issues d'une situation sans les lister une à une |
| Suites arithmétiques et géométriques | Calculer un terme, une somme, un modèle de croissance |
💡 Méthode de travail à appliquer chapitre par chapitre : lire la définition, refaire l'exemple résolu sans le regarder, faire les mini-QCM, puis vérifier. En mathématiques, c'est la répétition comprise qui fait la réussite.
1. Les ensembles de nombres
Les quatre ensembles de nombres
| Ensemble | Contenu | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ : entiers naturels | 0, 1, 2, 3, … (sans signe) | 0 ; 7 ; 1 250 |
| ℤ : entiers relatifs | les entiers avec un signe : …, −2, −1, 0, 1, 2, … | −3 ; −100 ; 45 |
| ℚ : rationnels | nombres qui s'écrivent a / b, avec a entier et b entier non nul | 3/4 ; −5/2 ; 0,75 ; 7 = 7/1 |
| ℝ : réels | tous les nombres de la droite graduée, y compris les non-rationnels | √2 ; π ; √3 |
Inclusions à connaître par cœur : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Autrement dit, tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un rationnel, et tout rationnel est un réel. Les nombres comme √2 ou π sont réels mais ne sont pas rationnels : ils ont une écriture décimale illimitée non périodique.
Exemple travailléLe nombre 5 appartient à ℕ, ℤ, ℚ et ℝ. Le nombre −3 appartient à ℤ, ℚ et ℝ, mais pas à ℕ. Le nombre 2/5 appartient à ℚ et ℝ, mais pas à ℤ (ce n'est pas un entier). Le nombre √2 appartient à ℝ seulement.
🔍 Sur la droite graduée, chaque réel correspond à un point, et chaque point à un réel : c'est le sens de l'expression « droite réelle ».
🎯 Le nombre −3/4 appartient à :
Bonne réponse : C. −3/4 est un quotient de deux entiers : c'est un rationnel, donc aussi un réel. Ce n'est pas un entier, donc il n'est ni dans ℕ ni dans ℤ.
2. Opérations, priorités et division euclidienne
Définition — Priorités opératoires : ① les parenthèses ; ② les puissances ; ③ la multiplication et la division, de gauche à droite ; ④ l'addition et la soustraction, de gauche à droite.
Exemple travaillé3 + 4 × (2 − 5)² = 3 + 4 × (−3)² = 3 + 4 × 9 = 3 + 36 = 39. Si l'on avait fait 3 + 4 = 7 puis multiplié par 9, on aurait trouvé 63 : c'est l'erreur classique.
🔍 Attention : −3² = −9 (le carré porte sur 3 seulement), alors que (−3)² = +9.
Définition — Division euclidienne : pour un entier a (dividende) et un entier b > 0 (diviseur), il existe un unique couple (q ; r) tel que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. q est le quotient, r le reste. Le reste est toujours positif ou nul, et toujours strictement inférieur au diviseur.
Exemple travaillé47 divisé par 5 : 47 = 5 × 9 + 2, avec 0 ≤ 2 < 5 : quotient 9, reste 2. Cas du négatif : −47 divisé par 5 donne −47 = 5 × (−10) + 3, avec 0 ≤ 3 < 5 : quotient −10 et reste 3 (jamais −2, car le reste doit être positif).
🔍 Contrôle rapide de tout calcul de division : multiplier le quotient par le diviseur, puis ajouter le reste : on doit retrouver le dividende.
🎯 Le reste de la division euclidienne de 50 par 7 est :
Bonne réponse : B. 50 = 7 × 7 + 1 : quotient 7, reste 1. Le reste ne peut pas être 7 ni 8, car il doit être strictement inférieur au diviseur.
3. Nombres premiers et décomposition
Définition — Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers à connaître : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Remarque : 1 n'est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair.
Décomposition en produit de facteurs premiers : tout entier supérieur à 1 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers, à l'ordre près des facteurs. Méthode : on divise successivement par 2, puis 3, puis 5, puis 7… jusqu'à obtenir 1.
Exemple travaillé360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2³ × 3² × 5. De même 252 = 2 × 126 = 2² × 63 = 2² × 3² × 7. On s'arrête dès que le quotient est premier.
🔍 Astuce de vérification : refaites le produit. 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360 ✓.
🎯 La décomposition de 252 en produit de facteurs premiers est :
Bonne réponse : A. 252 = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7. Les propositions 2 × 3 × 42 et 4 × 63 ne sont pas des décompositions en facteurs premiers (42 et 63 ne sont pas premiers).
4. PGCD et PPCM
Définition — Le PGCD de deux entiers est le plus grand commun diviseur : le plus grand nombre qui divise les deux. Le PPCM est le plus petit commun multiple : le plus petit nombre positif divisible par les deux. Propriété fondamentale : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b.
Méthode par décomposition (à connaître par cœur)
| Ce qu'on cherche | Règle | Sur 360 et 84 |
|---|---|---|
| PGCD | facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant | 360 = 2³ × 3² × 5 et 84 = 2² × 3 × 7 donnent PGCD = 2² × 3 = 12 |
| PPCM | tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant | PPCM = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2 520 |
| Contrôle | PGCD × PPCM = a × b | 12 × 2 520 = 30 240 = 360 × 84 ✓ |
- Algorithme d'Euclide : on remplace le couple (a ; b) par le couple (b ; reste) et on recommence.
- Exemple : 360 = 84 × 4 + 24 ; puis 84 = 24 × 3 + 12 ; puis 24 = 12 × 2 + 0.
- Le dernier reste non nul est le PGCD : PGCD(360 ; 84) = 12.
Exemple travailléApplication carrelage : une terrasse rectangulaire de 18 m sur 12 m doit être carrelée avec des carrés identiques les plus grands possibles, sans découpe. Le côté du carreau est PGCD(18 ; 12) = 6 m, et il faut (18 ÷ 6) × (12 ÷ 6) = 3 × 2 = 6 carreaux.
🔍 Application horaires : deux bus partent ensemble, l'un toutes les 12 min, l'autre toutes les 18 min. Ils repartiront ensemble après PPCM(12 ; 18) = 36 minutes.
Exemple travailléApplication fractions : pour simplifier 36/84, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : 36/84 = (36 ÷ 12) / (84 ÷ 12) = 3/7. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont pour PGCD 1.
🔍 Autre exemple : simplifier 252/90. PGCD(252 ; 90) = 18, donc 252/90 = 14/5. Vérification : 14 × 90 = 1 260 et 5 × 252 = 1 260 ✓.
🎯 Deux bus partent ensemble, l'un toutes les 12 minutes, l'autre toutes les 18 minutes. Ils repartiront ensemble dans :
Bonne réponse : C. On cherche un multiple commun : PPCM(12 ; 18) = 2² × 3² = 36. Réponse 6 = PGCD (c'est l'erreur classique : PGCD pour « simultanéité », PPCM pour « à nouveau ensemble »).
5. Comparaison de nombres
Définition — Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de a − b : si a − b > 0 alors a > b. Pour les fractions de même dénominateur, on compare les numérateurs. Pour des dénominateurs différents, on réduit au même dénominateur. Tout négatif est plus petit que tout positif ; entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.
Exemple travailléComparer 5/6 et 7/9 : au même dénominateur 18, on obtient 15/18 et 14/18, donc 5/6 > 7/9. Comparer −3/4 et −2/3 : −0,75 et −0,67, donc −3/4 < −2/3.
🔍 Astuce : réduire au même dénominateur revient à appliquer le PPCM des dénominateurs — ici 6 et 9, de PPCM 18.
🎯 Quelle est la comparaison correcte ?
Bonne réponse : A. Au dénominateur commun 28 : 3/4 = 21/28 et 5/7 = 20/28, donc 3/4 > 5/7. Et un négatif est toujours plus petit qu'un positif.
6. Puissances et écriture scientifique
Définition — a puissance n = produit de n facteurs égaux à a ; a est la base et n l'exposant. Cas particuliers : a¹ = a ; a⁰ = 1 si a ≠ 0 ; et a puissance −n = 1 / (a puissance n).
Les cinq règles de calcul sur les puissances
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient de même base | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5² = 5⁴ = 625 |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Même exposant | aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ | 2³ × 5³ = 10³ = 1 000 |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
Exemple travailléSimplifier (3² × 3⁻⁵) / 3⁻² : le numérateur vaut 3⁻³ ; puis 3⁻³ / 3⁻² = 3⁻³⁺² = 3⁻¹ = 1/3. Autre exemple : 45 000 = 4,5 × 10⁴ et 0,000 72 = 7,2 × 10⁻⁴.
🔍 Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Vitesse de la lumière : 3 × 10⁸ m/s = 300 000 000 m/s.
⚠️ Erreur fréquente : (a + b)² n'est pas égal à a² + b². Exemple : (2 + 3)² = 25, alors que 2² + 3² = 13. Il faut utiliser l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b².
🎯 2³ × 2⁴ est égal à :
Bonne réponse : C. Même base : on ajoute les exposants, 3 + 4 = 7, donc 2⁷ = 128. Multiplier les exposants (2¹²) est l'erreur la plus fréquente.
7. Identités remarquables
Les trois identités à connaître par cœur
| Identité | Développement | Exemple chiffré |
|---|---|---|
| Carré d'une somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Carré d'une différence | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| Différence de deux carrés | (a − b)(a + b) = a² − b² | 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4) |
Exemple travailléCalcul mental : 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801 ; 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1 = 2 499 ; 998 × 1 002 = (1 000 − 2)(1 000 + 2) = 1 000 000 − 4 = 999 996.
🔍 Factorisation : x² + 6x + 9 = (x + 3)² (reconnaître le carré d'une somme) ; 9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4).
🎯 (x − 2)(x + 2) est égal à :
Bonne réponse : A. C'est la différence de deux carrés : (x)² − (2)² = x² − 4.
8. Nombres sexagésimaux (temps et angles)
Définition — Le système sexagésimal est en base 60 : 1 heure = 60 minutes, 1 minute = 60 secondes, donc 1 heure = 3 600 secondes. De même pour les angles : 1 degré = 60 minutes d'angle et 1 minute d'angle = 60 secondes d'angle. Ce système n'est pas décimal : 1,5 h = 1 h 30 min, et non 1 h 50 min.
Exemple travailléConversion : 2,5 h = 2 h + 0,5 × 60 min = 2 h 30 min ; inversement 1 h 15 min = 1 + 15/60 = 1,25 h. Addition sexagésimale : 1 h 45 min 40 s + 30 min 35 s : les secondes donnent 75 s = 1 min 15 s (on retient 1 min) ; les minutes 45 + 30 + 1 = 76 min = 1 h 16 min (on retient 1 h) ; les heures 1 + 1 = 2 h. Résultat : 2 h 16 min 15 s.
🔍 Angles : 35° 45′ + 20° 30′ = 55° 75′ = 56° 15′ (on convertit 60′ en 1°).
🎯 Un film de 1 h 50 min commence à 14 h 35 min. Il finit à :
Bonne réponse : B. 14 h 35 + 1 h 50 = 15 h 85 min, et 85 min = 1 h 25 min, donc 16 h 25 min. Écrire « 15 h 85 min » n'est pas une écriture correcte.
9. Proportionnalité
Définition — Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque le rapport entre elles est constant : y = k × x. Le nombre k est le coefficient de proportionnalité. Graphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
Tableau de proportionnalité (exemple du marché)
| Masse de tomates (kg) | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (DH) | 6 | 12 | 30 | 60 |
Le coefficient se lit en divisant une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première : 6 ÷ 1 = 12 ÷ 2 = 30 ÷ 5 = 60 ÷ 10 = 6. Donc 7 kg coûtent 7 × 6 = 42 DH. Le coefficient de proportionnalité est aussi la pente de la droite.
Les sept applications de la proportionnalité
| Notion | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Pourcentage | t % de N = N × t / 100 | 15 % de 800 DH = 120 DH |
| Hausse ou baisse | N × (1 + t/100) ou N × (1 − t/100) | 200 DH augmenté de 10 % : 200 × 1,1 = 220 DH |
| Règle de trois | si a → b, alors x → (b × x) / a | 3 livres pour 45 DH : 7 livres pour 45 × 7 / 3 = 105 DH |
| Échelle | distance réelle = distance sur le plan × échelle | Carte au 1/50 000 : 2 cm représentent 1 000 m = 1 km |
| Vitesse moyenne | v = d / t | 150 km en 2 h : v = 75 km/h |
| Masse volumique | ρ = m / V | 50 g dans 10 cm³ : ρ = 5 g/cm³ |
| Intérêt simple | I = C × t × r / 100 (r en années) | 10 000 DH à 5 % pendant 2 ans : I = 1 000 DH |
Exemple travailléProblème combiné : un commerçant d'Agadir achète 40 kg de dattes à 80 DH le kilo, puis revend le tout avec 25 % de bénéfice. Coût d'achat : 40 × 80 = 3 200 DH ; prix de vente : 3 200 × 1,25 = 4 000 DH ; bénéfice : 800 DH.
🔍 Pourcentage de deux augmentations : une hausse de 20 % puis une hausse de 10 % ne donnent pas 30 %, mais 1,2 × 1,1 = 1,32, soit +32 %.
⚠️ Piège classique : une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne redonne pas le prix initial. 100 DH deviennent 120 DH, puis 96 DH : il reste une perte de 4 %.
🎯 Un article coûte 450 DH. Il est soldé à −20 %, puis on ajoute 10 % de TVA. Le prix final est :
Bonne réponse : A. Prix soldé : 450 × 0,8 = 360 DH ; avec TVA : 360 × 1,1 = 396 DH. Attention à appliquer la TVA sur le prix soldé, pas sur le prix de départ.
10. Équations, inéquations et systèmes
Définition — Équation du premier degré : elle se ramène à ax + b = 0 avec a ≠ 0, et sa solution est x = −b / a. Équation produit : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Exemple travailléRésoudre 3x − 5 = 2x + 4 : on regroupe les x à gauche et les nombres à droite : 3x − 2x = 4 + 5, donc x = 9. Vérification : 3 × 9 − 5 = 22 et 2 × 9 + 4 = 22 ✓. Résoudre (2x − 6)(x + 1) = 0 : soit 2x − 6 = 0 donc x = 3, soit x + 1 = 0 donc x = −1.
🔍 Toujours vérifier en remplaçant : une erreur de signe se détecte immédiatement.
Équation du second degré : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
| Discriminant Δ = b² − 4ac | Nombre de solutions | Solutions |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux solutions distinctes | x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | une solution double | x = −b / (2a) |
| Δ < 0 | aucune solution réelle | — |
Exemple travailléRésoudre x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, donc x₁ = (5 − 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3. Résoudre 2x² − 8x + 6 = 0 : on divise par 2, x² − 4x + 3 = 0, Δ = 16 − 12 = 4, donc x = 1 ou x = 3. Cas sans solution : x² + 2x + 5 = 0 donne Δ = 4 − 20 = −16 < 0.
🔍 Astuce somme et produit : quand Δ est parfait, x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Ici 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6 : on retrouve les solutions sans formule.
Définition — Inéquation du premier degré : règle capitale — si l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Pour le second degré, on utilise un tableau de signes : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.
Exemple travailléRésoudre −2x + 6 ≥ 0 : on isole −2x ≥ −6, puis on divise par −2 en changeant le sens : x ≤ 3, soit l'intervalle ]−∞ ; 3]. Résoudre x² − 3x + 2 ≤ 0 : Δ = 1, racines 1 et 2 ; comme a = 1 > 0, le trinôme est négatif entre les racines : l'ensemble des solutions est [1 ; 2].
🔍 Ne jamais oublier de changer le sens : c'est l'erreur qui coûte le plus de points dans ce chapitre.
Exemple travailléSystème : x + y = 10 et x − y = 2. Par addition des deux équations : 2x = 12 donc x = 6, puis y = 10 − 6 = 4. Solution (6 ; 4) ; vérification : 6 + 4 = 10 et 6 − 4 = 2 ✓. Problème type : un panier de 10 fruits, pommes à 3 DH et oranges à 2 DH, pour 26 DH. Avec p pommes et o oranges : p + o = 10 et 3p + 2o = 26 ; par substitution o = 10 − p, donc 3p + 20 − 2p = 26, d'où p = 6 pommes et o = 4 oranges.
🔍 Les deux méthodes (addition et substitution) donnent le même résultat : choisir celle qui évite les fractions.
🎯 L'ensemble des solutions de x² − 4x + 3 = 0 est :
Bonne réponse : A. Δ = 16 − 12 = 4 ; x = (4 − 2)/2 = 1 et x = (4 + 2)/2 = 3. Contrôle par le produit : 1 × 3 = 3 = c/a ✓.
11. Les fonctions numériques
Définition — Une fonction numérique associe à chaque nombre x un unique nombre f(x) : f(x) est l'image de x, et x est un antécédent de f(x). La courbe représentative est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Pour un antécédent, on résout l'équation f(x) = y.
Les quatre types de fonctions du programme
| Type | Forme | Courbe | Particularités |
|---|---|---|---|
| Linéaire | f(x) = a x | droite passant par l'origine | croissante si a > 0, décroissante si a < 0 ; a est la pente |
| Affine | f(x) = a x + b | droite | a est la pente, b l'ordonnée à l'origine (la droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; b)) |
| Homographique (k/x) | f(x) = k / x avec k ≠ 0 | hyperbole à deux branches | non définie en x = 0 ; asymptotes x = 0 et y = 0 |
| Polynôme du 2nd degré | f(x) = a x² + b x + c | parabole | sommet d'abscisse −b / (2a) ; tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 ; axe de symétrie x = −b/(2a) |
Exemple travailléAvec f(x) = 2x − 1 : l'image de 3 est f(3) = 5 ; l'antécédent de 7 est la solution de 2x − 1 = 7, soit x = 4. Droite passant par A(1 ; 3) et B(3 ; 7) : pente a = (7 − 3)/(3 − 1) = 2 ; avec A : 3 = 2 × 1 + b donc b = 1 ; l'équation est f(x) = 2x + 1.
🔍 Pour tracer une droite, deux points suffisent ; pour une parabole, calculez le sommet, les racines éventuelles et deux points symétriques.
Exemple travailléSoit f(x) = x² − 4x + 3 : le sommet a pour abscisse −b/(2a) = 4/2 = 2 et pour ordonnée f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, donc S(2 ; −1) est un minimum ; les racines sont 1 et 3 ; l'ordonnée à l'origine est f(0) = 3. Pour g(x) = −x² + 2x + 3 : a = −1 < 0, sommet x = −2/(−2) = 1, g(1) = 4, donc S(1 ; 4) est un maximum, et les racines sont −1 et 3.
🔍 Tableau de variations de x² − 4x + 3 : la fonction décroît sur ]−∞ ; 2], atteint le minimum −1 en x = 2, puis croît sur [2 ; +∞[.
🎯 La fonction f(x) = 3x + 1 est :
Bonne réponse : B. Une fonction affine s'écrit ax + b avec b ≠ 0 ; elle est linéaire seulement lorsque b = 0. Ici la droite ne passe pas par l'origine.
12. Dénombrement
Définition — Le cardinal card(A) est le nombre d'éléments d'un ensemble fini A. Pour deux ensembles : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) ; on retire une fois les éléments comptés deux fois. Factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1 ; ainsi 3! = 6 et 5! = 120. Principe multiplicatif : si une étape offre p choix et la suivante q choix, le total est p × q.
Exemple travailléDans un groupe, 10 élèves pratiquent le sport A, 8 le sport B et 3 les deux : le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport est 10 + 8 − 3 = 15. Menu à 3 entrées, 4 plats et 2 desserts : 3 × 4 × 2 = 24 menus possibles.
🔍 Pourquoi retirer l'intersection ? Parce que ces élèves ont été comptés dans les 10 et dans les 8 : ils sont comptés deux fois.
Arrangements et combinaisons : le critère de l'ordre
| Situation | L'ordre compte ? | Formule | Exemple |
|---|---|---|---|
| Podium, mot de passe, classement, rangement | oui : arrangement | Aₙᵖ = n! / (n − p)! | 10 candidats, podium de 3 : A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720 |
| Équipe, commission, main de cartes, lot | non : combinaison | Cₙᵖ = n! / (p! (n − p)!) | 2 personnes parmi 5 : C₅² = (5 × 4) / 2 = 10 |
Exemple travailléCombinaisons utiles : C₅² = 10 ; C₁₀³ = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 ; C₆² = 15 ; C₄² = 6. Triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui ; la ligne n donne les Cₙᵖ : 1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1 ; 1 5 10 10 5 1.
🔍 Codes à 3 chiffres distincts avec les chiffres 1 à 6 : A₆³ = 6 × 5 × 4 = 120 (l'ordre compte : 123 et 321 sont deux codes différents).
⚠️ Comment choisir ? Posez-vous la question : l'ordre compte-t-il ? Oui (podium, code, rangement) → arrangement. Non (équipe, comité, main de cartes) → combinaison. Et si les répétitions sont autorisées, ce n'est plus ni l'un ni l'autre : on compte de puissance à puissance.
🎯 Le nombre de façons de choisir 2 personnes parmi 6 (sans ordre) est :
Bonne réponse : B. C₆² = (6 × 5) / (2 × 1) = 15. L'arrangement A₆² = 30 compterait chaque paire deux fois (AB et BA).
13. Suites arithmétiques et géométriques
Définition — Une suite est une liste ordonnée de nombres (u₀ ; u₁ ; u₂ ; …) : uₙ est le terme de rang n. Suite arithmétique : on ajoute toujours la même raison r, donc uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + n × r. Somme des termes de u₀ à uₙ : S = (n + 1) × (u₀ + uₙ) / 2, c'est-à-dire le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
Exemple travailléSuite arithmétique u₀ = 3 et r = 2 : les termes sont 3, 5, 7, 9, … Le terme u₁₀ = 3 + 10 × 2 = 23. La somme des onze premiers termes : S = 11 × (3 + 23) / 2 = 11 × 13 = 143.
🔍 Vérification partielle : la somme des cinq premiers termes vaut 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35, et la formule donne 5 × (3 + 11)/2 = 35 ✓.
Définition — Suite géométrique : on multiplie toujours par la même raison q, donc uₙ₊₁ = uₙ × q et uₙ = u₀ × q puissance n. Somme des termes de u₀ à uₙ (si q ≠ 1) : S = u₀ × (1 − q puissance n+1) / (1 − q).
Exemple travailléSuite géométrique u₀ = 2 et q = 3 : les termes sont 2, 6, 18, 54, … Le terme u₃ = 2 × 3³ = 54. La somme des quatre premiers termes : S = 2 × (1 − 3⁴) / (1 − 3) = 2 × (−80) / (−2) = 80 ; vérification : 2 + 6 + 18 + 54 = 80 ✓.
🔍 Retenir la différence de comportement : une suite arithmétique croît « en ligne droite » (points alignés), une suite géométrique de raison q > 1 croît de plus en plus vite.
Suites dans la vie quotidienne
| Situation | Type | Calcul |
|---|---|---|
| Salaire de 3 000 DH avec 200 DH d'augmentation par an | arithmétique, r = 200 | après 5 ans : 3 000 + 5 × 200 = 4 000 DH |
| Dépôt de 10 000 DH à 5 % par an (intérêts composés) | géométrique, q = 1,05 | après 3 ans : 10 000 × 1,05³ ≈ 11 576,25 DH |
| Prix de 1 000 DH qui baisse de 10 % par an | géométrique, q = 0,9 | après 2 ans : 1 000 × 0,9² = 810 DH |
| Épargne de 500 DH par mois, sans intérêts | arithmétique, r = 500 | après 12 mois : 6 000 DH |
⚠️ Erreur fréquente : une augmentation de 5 % par an est une suite géométrique (q = 1,05), pas arithmétique. Une augmentation de 200 DH par an est arithmétique. Le mot « pour cent » annonce presque toujours une suite géométrique.
🎯 Dans une suite arithmétique de premier terme u₀ = 4 et de raison r = 5, le terme u₃ vaut :
Bonne réponse : A. u₃ = u₀ + 3r = 4 + 3 × 5 = 19. La réponse 20 correspondrait à u₄ (4 + 4 × 5), erreur d'indice classique.
14. Méthode pour les questions ouvertes
- Lire et identifier : données, inconnue, unités ; faire un schéma ou un tableau si c'est utile.
- Choisir l'outil : division euclidienne, PGCD ou PPCM, proportionnalité, équation, fonction, dénombrement ou suite.
- Calculer pas à pas en gardant les unités, sans arrondir trop tôt.
- Vérifier : le reste est-il inférieur au diviseur ? l'équation est-elle vérifiée ? le résultat a-t-il un sens concret ?
- Rédiger une phrase de conclusion qui répond exactement à la question posée.
Exemple travailléExemple rédigé : « Un commerçant vend des stylos à 4 DH et des cahiers à 7 DH. Un client achète 11 articles et paie 53 DH. Combien de cahiers ? » Soit s le nombre de stylos et c le nombre de cahiers : s + c = 11 et 4s + 7c = 53. Par substitution, s = 11 − c, donc 4(11 − c) + 7c = 53, soit 44 + 3c = 53, d'où 3c = 9 et c = 3 ; alors s = 8. Vérification : 8 + 3 = 11 articles ✓ et 8 × 4 + 3 × 7 = 32 + 21 = 53 DH ✓. Conclusion : le client a acheté 3 cahiers et 8 stylos.
🔍 Dans un problème de comptage, une solution non entière signale toujours une erreur de lecture ou de calcul : c'est un excellent contrôle.
15. Glossaire
Termes de nombres et de calcul
| Terme | Définition |
|---|---|
| Nombre premier | entier ≥ 2 qui n'a que 1 et lui-même comme diviseurs |
| Division euclidienne | a = b × q + r avec 0 ≤ r < b |
| PGCD | plus grand diviseur commun à deux entiers |
| PPCM | plus petit multiple commun positif |
| Puissance | aⁿ = produit de n facteurs égaux à a |
| Écriture scientifique | a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 |
| Identité remarquable | égalité algébrique pour développer ou factoriser |
| Sexagésimal | système en base 60 pour les durées et les angles |
| Coefficient de proportionnalité | nombre k tel que y = k x |
| Échelle | rapport entre la distance sur le plan et la distance réelle |
| Discriminant Δ | b² − 4ac pour l'équation a x² + b x + c = 0 |
| Système d'équations | plusieurs équations à plusieurs inconnues à résoudre ensemble |
| Image et antécédent | f(x) est l'image de x ; x est un antécédent de f(x) |
| Ordonnée à l'origine | valeur f(0) : ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées |
| Asymptote | droite que la courbe approche sans jamais l'atteindre |
| Sommet d'une parabole | point extrême (minimum ou maximum) d'abscisse −b / (2a) |
| Cardinal | nombre d'éléments d'un ensemble fini |
| Arrangement et combinaison | choix ordonné (arrangement) ou non ordonné (combinaison) de p éléments parmi n |
| Suite arithmétique et géométrique | on ajoute toujours r / on multiplie toujours par q |
16. Exercices type concours
Exemple travailléProblème 1 (ateliers et lots). Une coopérative de Taroudant dispose de 360 kg d'amandes et de 84 kg de noix. ① Quel est le nombre maximal de lots identiques, sans reste, contenant les deux produits ? Quelle est la composition d'un lot ? ② Chaque lot demande 12 minutes de conditionnement : combien de temps pour 5 lots ?
🔍 Corrigé : ① le nombre maximal de lots est PGCD(360 ; 84) = 12 ; chaque lot contient 360/12 = 30 kg d'amandes et 84/12 = 7 kg de noix. ② 5 × 12 min = 60 min = 1 heure.
Exemple travailléProblème 2 (coût de transport). Un taxi applique une prise en charge de 10 DH puis 4 DH par kilomètre. Soit x la distance en km et f(x) le prix. ① Exprimer f(x) et préciser sa nature. ② Prix pour 7 km ? ③ Quelle distance pour 38 DH ?
🔍 Corrigé : ① f(x) = 4x + 10 : fonction affine (pente 4, ordonnée à l'origine 10). ② f(7) = 28 + 10 = 38 DH. ③ 4x + 10 = 38 donne 4x = 28, donc x = 7 km.
Exemple travailléProblème 3 (aire d'un jardin). Un jardin rectangulaire a pour longueur (x + 3) m et pour largeur (x − 1) m ; son aire est 45 m². ① Montrer que (x + 3)(x − 1) = 45 donne x² + 2x − 48 = 0. ② Résoudre et donner les dimensions.
🔍 Corrigé : ① (x + 3)(x − 1) = x² + 2x − 3 = 45, donc x² + 2x − 48 = 0. ② Δ = 4 + 192 = 196 = 14², donc x = (−2 + 14)/2 = 6 (l'autre solution, −8, donne une largeur négative : elle est à écarter). Les dimensions sont 9 m sur 5 m ; vérification : 9 × 5 = 45 ✓. Remarque : quand Δ n'est pas un carré parfait, on garde la forme exacte avec la racine carrée (par exemple x = −1 + √40 ≈ 5,32 pour une aire de 39 m²).
Exemple travailléProblème 4 (suites et épargne). Un élève épargne 200 DH le premier mois, puis 20 DH de plus chaque mois. ① Combien épargne-t-il le 12e mois ? ② Total épargné sur 12 mois ? ③ Un autre élève épargne 100 DH le premier mois et augmente de 10 % par mois : quel montant au 4e mois ?
🔍 Corrigé : ① suite arithmétique de premier terme 200 et de raison 20 : u₁₂ = 200 + 11 × 20 = 420 DH. ② S = 12 × (200 + 420) / 2 = 3 720 DH. ③ suite géométrique de raison 1,1 : u₄ = 100 × 1,1³ = 133,10 DH. On voit ici la puissance des intérêts composés face à la croissance linéaire.
🎯 Un plan est à l'échelle 1/200 : un mur mesure 4 cm sur le plan. Sa longueur réelle est :
Bonne réponse : A. 4 cm × 200 = 800 cm = 8 m. Il faut toujours convertir : 800 cm et 8 m désignent la même longueur.
17. Plan de révision et fiche finale
Plan de révision en six jours
| Jour | Chapitres à travailler |
|---|---|
| Jour 1 | chapitres 1 à 4 : ensembles, opérations, nombres premiers, PGCD et PPCM (refaire les exemples) |
| Jour 2 | chapitres 5 à 9 : comparaison, puissances, identités remarquables, sexagésimal, proportionnalité |
| Jour 3 | chapitre 10 : équations, inéquations et systèmes (les trois types de résolution) |
| Jour 4 | chapitre 11 : fonctions (tracer une droite, une parabole, une hyperbole) |
| Jour 5 | chapitres 12 et 13 : dénombrement et suites |
| Jour 6 | chapitre 16 : refaire les mini-QCM et les problèmes sans regarder les corrigés |
À retenir — À retenir : ensembles — ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; division euclidienne — a = b q + r avec 0 ≤ r < b ; PGCD — facteurs communs au plus petit exposant ; PPCM — tous les facteurs au plus grand exposant ; PGCD × PPCM = a × b ; puissances — on ajoute les exposants dans un produit de même base, on les multiplie dans une puissance de puissance, a⁻ⁿ = 1 / aⁿ ; identités — (a ± b)² = a² ± 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b² ; sexagésimal — 1 h = 60 min = 3 600 s et 1° = 60′ ; proportionnalité — y = k x, échelle, vitesse d/t, masse volumique m/V, intérêt C t r / 100 ; premier degré — x = −b/a ; second degré — Δ = b² − 4ac et x = (−b ± √Δ) / (2a) ; inéquation — diviser par un négatif change le sens ; fonctions — linéaire (droite par l'origine), affine (droite), k/x (hyperbole), second degré (parabole de sommet −b/(2a)) ; dénombrement — Aₙᵖ = n!/(n − p)! et Cₙᵖ = n!/(p!(n − p)!) ; suites — uₙ = u₀ + n r et uₙ = u₀ qⁿ.
Points de contrôle
- Je sais classer un nombre dans ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ et justifier.
- Je sais effectuer une division euclidienne et donner quotient et reste, même avec un négatif.
- Je sais calculer un PGCD et un PPCM (par décomposition ou par Euclide) et reconnaître « simultané » et « à nouveau ensemble ».
- Je sais résoudre une équation du premier et du second degré, une inéquation avec tableau de signes et un système de deux équations.
- Je sais reconnaître les quatre types de fonctions et calculer images et antécédents.
- Je sais compter avec arrangements, combinaisons et suites arithmétiques ou géométriques.