Mathématiques ③④ Mesure et traitement des données (4 % + 2 %)

Aires, périmètres et série statistique — Formules d'aire et de périmètre du rectangle, du triangle et du cercle ; moyenne, effectif et étendue d'une série statistique.

Le cadrage officiel

La mesure (القياس) et le traitement des données (تنظيم البيانات ومعالجتها) forment les deux derniers sous-domaines de la matière mathématiques : 4 % et 2 % de l'épreuve des matières. Un candidat qui maîtrise les conversions, les aires, les volumes et les indicateurs statistiques sécurise facilement ces points, car ce sont les questions les plus « mécaniques » du programme.

Programme officiel des sous-domaines Mesure et Données

Contenu officiel	Ce qu'il faut savoir faire
Périmètres et aires des figures usuelles	Calculer rapidement carré, rectangle, triangle, disque, parallélogramme
Aires latérales et totales des solides	Calculer et distinguer aire latérale et aire totale
Unités de mesure : masse, temps, volume et capacité, contenance	Convertir d'une unité à une autre sans erreur de rang
Contenance : unités de mesure en informatique	Manier octet, ko, Mo, Go et le système en puissances de 2
Opérations sur les nombres composés (complexes)	Additionner, soustraire, multiplier des nombres avec deux unités
Vocabulaire statistique	Population, caractère, effectif, fréquence
Tableaux et diagrammes : diagramme en bâtons, diagramme cumulatif, histogramme	Lire, construire et interpréter
Mode, médiane, moyenne, étendue, écart moyen, variance, écart type	Calculer les indicateurs et les interpréter

1. Périmètres et aires

Formules des figures planes

Figure	Périmètre	Aire
Carré de côté a	4a	a²
Rectangle L, l	2(L + l)	L × l
Triangle (base b, hauteur h)	somme des trois côtés	b × h / 2
Parallélogramme	2(a + b)	base × hauteur
Disque de rayon r	2 π r	π r²
Secteur circulaire d'angle α	arc = 2 π r × α / 360	π r² × α / 360

Exemple travailléRectangle 8 m × 5 m : périmètre 26 m, aire 40 m². Disque de rayon 7 : périmètre 14 π ≈ 43,98 ; aire 49 π ≈ 153,94.

⚠️ Attention aux unités d'aire : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² (chaque dimension est convertie, donc le facteur est élevé au carré). De même 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³.

À retenir par cœur : 1 m³ = 1 000 L et 1 L = 1 dm³ ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 L = 1 000 cm³ ; 1 tonne = 1 000 kg ; 1 hectare = 10 000 m² ; 1 are = 100 m².

🎯 1,5 m³ correspond à :

2. Aires latérales et totales des solides

Aire LATÉRALE : uniquement la surface « autour » du solide, sans les bases. Aire TOTALE : aire latérale + les deux bases (ou la base et la somme des faces latérales pour une pyramide).
CYLINDRE (rayon r, hauteur h) : aire latérale = 2 π r h ; aire totale = 2 π r h + 2 π r² = 2 π r (r + h).
CÔNE (rayon r, hauteur h, génératrice ℓ) : la génératrice vérifie ℓ² = r² + h². Aire latérale = π r ℓ ; aire totale = π r ℓ + π r².
SPHÈRE : aire = 4 π r² (pas de base). PRISME droit : aire latérale = périmètre de base × h ; aire totale = 2 × aire de base + périmètre × h.
PAVÉ DROIT (a, b, c) : aire totale = 2 (a b + b c + c a).

Exemple travailléCylindre r = 1,5 m et h = 2 m : aire latérale = 2 × π × 1,5 × 2 = 6 π ≈ 18,85 m² ; aire totale = 2 × π × 1,5 × 2,5 = 7,5 π ≈ 23,56 m² ; volume = π × 1,5² × 2 = 4,5 π ≈ 14,14 m³, soit environ 14 137 L.

🔍 Cône r = 5 cm et h = 12 cm : ℓ = 13 cm ; aire latérale = π × 5 × 13 = 65 π ≈ 204,2 cm² ; volume = π × 25 × 12 / 3 = 100 π ≈ 314,16 cm³.

Cas type du réservoir : un bidon cylindrique de rayon 8 cm et de hauteur 25 cm. V = π × 64 × 25 = 1 600 π ≈ 5 026 cm³ ≈ 5,026 L ; aire totale = 2 π × 8 × 33 = 528 π ≈ 1 658,8 cm².

🎯 L'aire latérale d'un cylindre de rayon 3 et de hauteur 10 vaut :

3. Unités de mesure et conversions

Les quatre familles d'unités

Grandeur	Unités	Passage clé
Longueur	km, hm, dam, m, dm, cm, mm	× 10 à chaque rang
Masse	tonne, quintal, kg, hg, dag, g, dg, cg, mg	1 t = 1 000 kg ; 1 q = 100 kg
Aire	km², m², cm² ; are, hectare	× 100 à chaque rang ; 1 ha = 10 000 m²
Volume et capacité	m³, dm³, cm³, L, mL	× 1 000 à chaque rang ; 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³
Temps	siècle, an, jour, h, min, s	1 h = 60 min = 3 600 s ; jamais en base 10
Stockage numérique	octet, ko, Mo, Go, To	1 ko = 1 024 octets ; 1 Mo = 1 024 ko

Exemple travailléConvertir 3,5 km en cm : 3,5 × 100 000 = 350 000 cm. Convertir 2,4 t en kg : 2 400 kg. 45 min 30 s en secondes : 45 × 60 + 30 = 2 730 s. Un fichier de 3 Mo occupe 3 × 1 024 = 3 072 ko. Un champ rectangulaire de 1,5 ha a une aire de 15 000 m².

🔍 Opérations sur nombres composés : 15 min 45 s + 25 min 30 s = 40 min 75 s = 41 min 15 s. Et 20 min 40 s × 3 = 60 min 120 s = 62 min = 1 h 2 min.

🎯 Un train roule 3 h 20 min. Quelle durée en minutes ?

4. Vocabulaire et tableaux statistiques

Définition — POPULATION : l'ensemble étudié (les élèves d'une classe). INDIVIDU : un élément de cette population. CARACTÈRE : la propriété étudiée, qualitatif (couleur des yeux) ou quantitatif (taille), discret (valeurs isolées) ou continu (classes). EFFECTIF nᵢ : nombre d'individus ayant la valeur xᵢ. EFFECTIF TOTAL N : somme des effectifs. FRÉNQUENCE : fᵢ = nᵢ / N, souvent en pourcentage. EFFECTIFS CUMULÉS CROISSANTS : total des effectifs jusqu'à une valeur donnée.

Types de représentations : le diagramme en bâtons (une barre par valeur, hauteur proportionnelle à l'effectif) pour un caractère discret ; le diagramme cumulatif (en escalier) pour les effectifs cumulés croissants ; l'histogramme (rectangles accolés, souvent à pas inégal) pour un caractère continu regroupé en classes ; le diagramme circulaire (secteurs d'angles proportionnels aux effectifs, angle = 360 × effectif / N).

Exemple travailléSérie des notes de 40 élèves regroupées en classes : [0 ; 10[ effectif 6, [10 ; 20[ effectif 10, [20 ; 30[ effectif 14, [30 ; 40[ effectif 8, [40 ; 50] effectif 2 (total 40). Les effectifs cumulés croissants sont 6, 16, 30, 38, 40. La CLASSE MODALE est [20 ; 30[, celle qui a le plus grand effectif ; la moyenne approchée, calculée avec le centre de chaque classe, vaut (6 × 5 + 10 × 15 + 14 × 25 + 8 × 35 + 2 × 45) / 40 = 900 / 40 = 22,5.

🎯 Dans une classe de 50 élèves, 15 pratiquent le football. La fréquence est :

5. Indicateurs statistiques : position et dispersion

Les sept indicateurs du programme

Indicateur	Définition et formule
Mode M₀	Valeur la plus fréquente (celle de plus grand effectif)
Médiane Mₑ	Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés : au rang (N+1)/2 si N est impair, moyenne des valeurs des rangs N/2 et N/2 + 1 si N est pair
Moyenne m	m = somme des nᵢ xᵢ divisée par N
Étendue	Valeur maximale − valeur minimale
Écart moyen	somme des \|xᵢ − m\| × nᵢ divisée par N
Variance V	V = somme des nᵢ xᵢ² / N − m² (moyenne des carrés moins le carré de la moyenne)
Écart type σ	σ = racine carrée de V (dans l'unité des données)

Exemple travailléSérie A corrigée (notes de 20 élèves, sur 4) : effectifs 3, 4, 7, 5, 1 pour les notes 0, 1, 2, 3, 4. Total N = 20 ; somme des nᵢ xᵢ = 37 donc m = 37/20 = 1,85 ; somme des nᵢ xᵢ² = 93 donc V = 93/20 − 1,85² = 4,65 − 3,4225 = 1,2275 ≈ 1,23, et σ = racine de 1,2275 ≈ 1,11 ; le mode et la médiane valent tous deux 2, l'étendue 4.

🔍 Contrôle de la médiane par les effectifs cumulés : 3, puis 7 (rang 4 à 7 pour la note 1), puis 14 (rangs 8 à 14 pour la note 2), puis 19, puis 20. Les rangs 10 et 11 tombent dans la note 2 : Mₑ = 2. La moyenne, elle, est sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la médiane.

Interprétation : la moyenne indique le centre de la série ; l'étendue, la variance et l'écart type mesurent sa dispersion. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des dispersions très différentes : c'est l'écart type qui départage. Un écart type faible signifie des valeurs resserrées autour de la moyenne.

🎯 Dans la série 2, 5, 5, 5, 8, 10, la médiane vaut :

6. Exercices corrigés et situations du quotidien

Exemple travailléExercice 1 : un réservoir cylindrique de rayon 0,5 m et de hauteur 1,2 m. V = π × 0,25 × 1,2 = 0,3 π ≈ 0,942 m³, soit environ 942 L. S'il se remplit au débit de 15 L/min, il faut 942 / 15 ≈ 63 minutes, soit environ 1 h 3 min.

🔍 Exercice 2 : un toit rectangulaire de 6 m × 4 m reçoit 25 mm de pluie. Volume d'eau = 24 m² × 0,025 m = 0,6 m³ = 600 L.

Exemple travailléExercice 3 : les notes de 10 élèves sont 8, 10, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 18, 20 (total déjà ordonné). Moyenne = 139 / 10 = 13,9 ; médiane = (12 + 14) / 2 = 13 ; mode = 15 ; étendue = 20 − 8 = 12 ; variance = 2 047 / 10 − 13,9² = 204,7 − 193,21 = 11,49 ; écart type ≈ 3,39.

🔍 Exercice 4 : un cône r = 5 cm et h = 12 cm a ℓ = 13 cm : aire totale = π × 5 × 13 + π × 25 = 90 π ≈ 282,7 cm², et V = 100 π ≈ 314,16 cm³.

🎯 Des valeurs très dispersées donnent :

7. Glossaire et fiche finale

Termes de mesure et de statistique

Terme	Définition
Contenance	Quantité de liquide ou de matière qu'un récipient peut contenir
Nombre composé	Nombre exprimé avec plusieurs unités : 3 h 20 min, 5 m 40 cm
Effectif cumulé	Somme des effectifs jusqu'à une valeur incluse
Classe modale	Classe de plus grand effectif
Écart moyen	Moyenne des écarts absolus à la moyenne
Variance	Moyenne des carrés des écarts ; toujours positive

À retenir — À retenir : aires — rectangle L l, triangle b h / 2, disque π r², secteur × α / 360 ; unités — 1 m³ = 1 000 L, 1 L = 1 dm³, 1 m² = 10 000 cm², 1 ha = 10 000 m², temps en base 60, 1 ko = 1 024 octets ; solides — cylindre latérale 2 π r h et totale 2 π r (r + h) ; cône ℓ = racine de (r² + h²) et latérale π r ℓ ; sphère 4 π r² ; statistiques — ordonner avant la médiane, moyenne égale moyenne des carrés moins carré de la moyenne pour la variance, écart type = racine de la variance.

Points de contrôle

Je convertis sans faute les longueurs, masses, aires, volumes, durées et unités de stockage.
Je distingue aire latérale et aire totale d'un solide.
Je construis un tableau d'effectifs, un diagramme en bâtons et un diagramme cumulatif.
Je calcule mode, médiane, moyenne, étendue, variance et écart type, et je les interprète.
Je résous un problème de la vie courante mêlant volume, capacité et débit.

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