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Mathématiques ② Géométrie (dans la matière maths 20 %)
Le cadrage officiel
La géométrie est le sous-domaine ② de la matière mathématiques, pour un poids officiel de 7 % de l'épreuve des matières (le total des mathématiques est 20 % : nombres et calcul 7 %, géométrie 7 %, mesure 4 %, traitement des données 2 %). L'épreuve est écrite, en français, sous forme de questions fermées : une seule réponse par question, un point par bonne réponse, aucun point négatif. Les instruments de géométrie doivent être apportés le jour de l'épreuve.
Le programme officiel du sous-domaine Géométrie
| Contenu officiel | Ce qu'il faut savoir faire |
|---|---|
| Vecteurs : caractéristiques, égalité, somme, produit par un réel, colinéarité | Construire, additionner, reconnaître deux vecteurs colinéaires |
| Polygones, polygones réguliers, triangles, parallélogrammes, trapèzes | Connaître les propriétés et les angles, identifier la figure |
| Droites remarquables du triangle ; le cercle ; cercle inscrit et cercle circonscrit | Construire médiatrices, hauteurs, médianes, bissectrices et les cercles associés |
| Positions relatives d'une droite et d'un cercle, de deux cercles | Discuter les positions à partir des distances |
| Transformations : symétrie centrale, symétrie axiale, translation, homothétie | Construire l'image d'une figure ; savoir ce qui est conservé ou multiplié |
| Repère orthonormé ; déterminant ; équation réduite d'une droite ; distances ; positions relatives de deux droites | Calculer dans un repère avec les formules |
| Géométrie de l'espace : solides réguliers (nommer, décrire, construire, patron) ; droites et plans ; positions relatives | Décrire, dessiner et patronner les solides ; discuter les positions |
💡 Méthode en trois questions, à appliquer devant tout énoncé de géométrie : quelle PROPRIÉTÉ de la figure est donnée ? quel THÉORÈME relie ces données à ce qu'on cherche ? quelle FORMULE donne le résultat demandé ?
1. Les vecteurs
Définition — Un vecteur AB est un segment orienté qui va du point A (origine) au point B (extrémité). Il possède trois caractéristiques : une DIRECTION (celle de la droite (AB)), un SENS (de A vers B) et une NORME (sa longueur, notée ‖AB‖ = AB). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme : ils sont alors représentés par des segments parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens.
Définition — Relation de Chasles : AB + BC = AC. On « enchaîne » les vecteurs, l'extrémité de l'un étant l'origine du suivant. Cas particulier fondamental : AB + BA = 0, où 0 est le vecteur nul.
Définition — Multiplication par un réel : pour k réel et u vecteur, ku a la même direction que u ; il a le même sens si k est positif, le sens contraire si k est négatif ; et sa norme vaut |k| × ‖u‖.
Définition — Colinéarité et déterminant : deux vecteurs u et v sont colinéaires (de même direction) s'il existe un réel k tel que v = ku. Avec u(x ; y) et v(x′ ; y′), le déterminant vaut det(u, v) = x y′ − x′ y ; il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires. Application : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Exemple travailléSi u(2 ; 1) et v(−4 ; −2), alors det = 2 × (−2) − (−4) × 1 = 0 : les deux vecteurs sont colinéaires (v = −2u). Pour u(2 ; 1) et w(3 ; 1), det = 2 × 1 − 3 × 1 = −1, donc ils ne sont pas colinéaires.
🔍 Le milieu I de [AB] vérifie AI = IB ; vectoriellement, pour tout point O, OI = (OA + OB) / 2 ; dans un repère, ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées de A et de B.
🎯 Les vecteurs u(2 ; −3) et v(−4 ; 6) sont :
Bonne réponse : B. det = 2 × 6 − (−4) × (−3) = 12 − 12 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, et v = −2u.
2. Triangles, quadrilatères et polygones réguliers
Définition — Dans un triangle, la somme des angles vaut 180 degrés et chaque côté est inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Un triangle rectangle vérifie le théorème de Pythagore, a² = b² + c², a étant l'hypoténuse ; isocèle, il a deux côtés égaux et deux angles à la base égaux ; équilatéral, trois côtés égaux et trois angles de 60 degrés.
Propriétés des quadrilatères
| Figure | Propriétés principales | Diagonales |
|---|---|---|
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles et égaux ; angles opposés égaux | Se coupent en leur milieu |
| Rectangle | Quatre angles droits | Même longueur et même milieu |
| Losange | Quatre côtés égaux | Perpendiculaires, même milieu |
| Carré | Rectangle et losange à la fois | Même longueur, perpendiculaires, même milieu |
| Trapèze | Deux côtés opposés parallèles (les bases) | Pas de propriété générale |
Définition — Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Son angle intérieur vaut (n − 2) × 180 / n, son angle au centre 360 / n, et la somme de ses angles intérieurs (n − 2) × 180. Pour l'hexagone régulier, le rayon du cercle circonscrit est égal au côté, car les six triangles formés depuis le centre sont équilatéraux.
Exemple travailléPentagone régulier : angle intérieur = 3 × 180 / 5 = 108 degrés. Octogone régulier : 6 × 180 / 8 = 135 degrés ; somme des angles = 6 × 180 = 1 080 degrés. Ces polygones sont exactement ceux des zelliges marocains.
🔍 Triangle 3-4-5 : 5² = 25 et 3² + 4² = 9 + 16 = 25 : il est rectangle, l'hypoténuse mesure 5.
🎯 L'angle intérieur d'un pentagone régulier vaut :
Bonne réponse : B. (5 − 2) × 180 / 5 = 540 / 5 = 108 degrés.
3. Les droites remarquables du triangle
- MÉDIATRICE d'un côté : droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu. Les trois médiatrices se coupent au centre du CERCLE CIRCONSCRIT (le point équidistant des trois sommets).
- HAUTEUR issue d'un sommet : droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent à l'ORTHOCENTRE (dans un triangle rectangle, c'est le sommet de l'angle droit).
- MÉDIANE issue d'un sommet : droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au CENTRE DE GRAVITÉ G, situé aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet : AG = (2/3) × AM.
- BISSECTRICE d'un angle : droite qui partage l'angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent au centre du CERCLE INSCRIT (le point équidistant des trois côtés).
Exemple travailléDans un triangle rectangle en A, le milieu de l'hypoténuse est à la même distance des trois sommets : il est donc le centre du cercle circonscrit, et le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse. Pour A(100 ; 250), B(400 ; 250) et C(100 ; 70), le centre de gravité est G((100+400+100)/3 ; (250+250+70)/3), soit G(200 ; 190).
🔍 Triangle rectangle 3-4-5 : rayon du cercle circonscrit = 5 / 2 = 2,5 ; rayon du cercle inscrit = (3 + 4 − 5) / 2 = 1.
🎯 Dans un triangle, le point d'intersection des médianes est :
Bonne réponse : B. Médianes → centre de gravité (aux deux tiers) ; médiatrices → cercle circonscrit ; bissectrices → cercle inscrit ; hauteurs → orthocentre.
4. Le cercle et ses positions relatives
Définition — Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM = r ; le disque est l'ensemble des points tels que OM ≤ r. Propriété de Thalès du cercle : si [AB] est un diamètre et C un autre point du cercle, alors le triangle ABC est rectangle en C (et réciproquement).
Positions relatives
| Situation | Condition | Conséquence |
|---|---|---|
| Droite et cercle | d > r | Droite extérieure : aucun point commun |
| Droite et cercle | d = r | Droite tangente : un seul point de contact, et la tangente est perpendiculaire au rayon |
| Droite et cercle | d < r | Droite sécante : deux points communs |
| Deux cercles (r₁ ≥ r₂, d = O₁O₂) | d > r₁ + r₂ | Cercles extérieurs |
| Deux cercles | d = r₁ + r₂ | Tangents extérieurement |
| Deux cercles | r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ | Sécants : deux points communs |
| Deux cercles | d = r₁ − r₂ | Tangents intérieurement |
| Deux cercles | d < r₁ − r₂ | L'un est à l'intérieur de l'autre |
Exemple travailléAvec r₁ = 60 et r₂ = 40 : la somme vaut 100 et la différence 20. Donc d = 130 donne deux cercles extérieurs, d = 70 deux cercles sécants, d = 20 deux cercles tangents intérieurement. Pour un cercle de rayon 4 et une droite située à 4 du centre : la droite est tangente.
🔍 Le cercle x² + y² = 25 et la droite x = 3 : la distance du centre à la droite vaut 3 < 5, donc la droite est sécante et les points d'intersection sont (3 ; 4) et (3 ; −4).
🎯 Un cercle de rayon 4 et une droite située à 4 cm du centre sont :
Bonne réponse : C. La distance du centre à la droite est égale au rayon : il n'y a qu'un point commun, le point de contact.
5. Les transformations du plan
Définition — Symétrie centrale de centre O : M′ est l'image de M si O est le milieu de [MM′], autrement dit si OM′ = −OM. La figure subit un demi-tour de 180 degrés autour de O. Symétrie axiale d'axe d : M′ est l'image de M si d est la médiatrice de [MM′] ; la figure est retournée comme dans un miroir. Translation de vecteur u : M′ est l'image de M si MM′ = u ; tous les points glissent de la même façon. Homothétie de centre O et de rapport k : M′ est l'image de M si OM′ = k × OM.
Ce que chaque transformation conserve
| Transformation | Longueurs | Angles | Aires |
|---|---|---|---|
| Symétrie centrale, symétrie axiale, translation (isométries) | conservées | conservés | conservées |
| Homothétie de rapport k | multipliées par |k| | conservés | multipliées par k² |
Exemple travailléUn plan à l'échelle 1/500 : une longueur de 4 cm sur le plan correspond à 4 × 500 = 2 000 cm, soit 20 m. Une aire de 2 cm² sur le plan correspond à 2 × 500² = 500 000 cm², soit 50 m². A(2 ; 3) avec O(0 ; 0) : le symétrique de A par rapport à O est A′(−2 ; −3) ; l'image de A par la translation de vecteur u(3 ; −1) est A′(4 ; 2 − 1) = (4 ; 1).
🔍 Un triangle d'aire 12 cm², transformé par une homothétie de rapport 3, a une aire de 12 × 3² = 108 cm².
🎯 Une homothétie de rapport 3 multiplie :
Bonne réponse : A. Les longueurs sont multipliées par |k| = 3, les aires par k² = 9 ; les angles, eux, sont conservés.
6. Repère orthonormé, distances et équations de droites
Les formules du repère orthonormé
| Notion | Formule |
|---|---|
| Coordonnées du vecteur AB | AB(x_B − x_A ; y_B − y_A) |
| Distance AB | AB = racine carrée de ((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) |
| Milieu I de [AB] | I((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2) |
| Norme de u(x ; y) | ‖u‖ = racine carrée de (x² + y²) |
| Coefficient directeur de (AB) | m = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) |
| Équation réduite | y = mx + p (p : ordonnée à l'origine) |
| Droite verticale | x = c (pas de coefficient directeur) |
| Droites parallèles | même coefficient directeur |
| Droites perpendiculaires | m × m′ = −1 |
| Distance d'un point M(x₀ ; y₀) à la droite ax + by + c = 0 | |a x₀ + b y₀ + c| / racine carrée de (a² + b²) |
| Aire du triangle ABC | la moitié de la valeur absolue du déterminant de AB et AC |
Exemple travailléA(1 ; 2) et B(4 ; 6) : AB = racine carrée de (9 + 16) = 5 ; le milieu est (2,5 ; 4). Droite (AB) : m = (6 − 2)/(4 − 1) = 4/3 ; son équation est y = (4/3)x + 2/3. Le triangle A(1 ; 1), B(4 ; 1), C(1 ; 5) a pour aire la moitié de |3 × 4 − 0 × 0| = 12 / 2 = 6.
🔍 Droites y = 2x + 1 et y = −x + 4 : 2x + 1 = −x + 4 donne x = 1 et y = 3 : elles sont sécantes au point (1 ; 3). Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles (ou confondues si la même ordonnée à l'origine).
🎯 La distance entre A(−2 ; 1) et B(4 ; 9) vaut :
Bonne réponse : C. (4 + 2)² = 36 et (9 − 1)² = 64 ; 36 + 64 = 100 et la racine carrée de 100 vaut 10.
7. Géométrie de l'espace
Solides, volumes et surfaces
| Solide | Volume | Surface |
|---|---|---|
| Cube d'arête a | a puissance 3 | 6a² |
| Pavé droit (a, b, c) | a × b × c | 2(ab + bc + ca) |
| Prisme droit (base d'aire B, périmètre P, hauteur h) | B × h | 2B + P × h |
| Pyramide | B × h / 3 | somme des faces latérales et de la base |
| Cylindre (r, h) | π r² h | 2π r (r + h) |
| Cône (r, h, génératrice ℓ) | π r² h / 3 | aire latérale π r ℓ + base π r² |
| Sphère (r) | 4 π r³ / 3 | 4 π r² |
Définition — Positions relatives dans l'espace : deux droites sont soit coplanaires (parallèles ou sécantes), soit non coplanaires ; une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles, soit la droite est contenue dans le plan ; deux plans sont soit parallèles, soit sécants selon une droite. Théorème utile : si une droite d est parallèle à une droite d′ contenue dans un plan P, sans être elle-même dans P, alors d est parallèle à P.
Exemple travailléUn patron de cube est une croix de six carrés égaux ; celui du cylindre est un rectangle (de longueur égale au périmètre du cercle de base) et deux disques. Repérage dans l'espace : A(0 ; 0 ; 0) et B(2 ; 3 ; 6) donnent AB = racine carrée de (4 + 9 + 36) = racine carrée de 49 = 7.
🔍 Dans un cube, deux arêtes opposées qui ne sont ni parallèles ni sécantes sont non coplanaires ; deux faces opposées sont parallèles ; l'intersection de deux faces voisines est une arête.
🎯 Le volume d'un cylindre de rayon 2 et de hauteur 5 vaut :
Bonne réponse : B. Le volume vaut π × r² × h = π × 4 × 5 = 20 π.
8. Situations marocaines et méthode de rédaction
Géométrie dans la vie quotidienne au Maroc
| Situation | Notion mobilisée |
|---|---|
| Motifs de zellige (fontaines, médersas de Fès et Marrakech) | Pavage par polygones réguliers, symétries, rotations : l'étoile à huit branches est liée à l'octogone (angle intérieur 135 degrés) |
| Plan d'une maison à Agadir à l'échelle 1/100 | Homothétie de rapport 1/100 : 5 cm sur le plan représentent 5 m |
| Minaret à base carrée | Prisme droit : volume = aire de la base × hauteur |
| Silo ou tas de sable | Cylindre, cône : calcul de la capacité de stockage |
| Terrain de football d'Agadir | Rectangle, cercle central de rayon 9,15 m |
- ① Faire une figure claire et coder les données : angles droits, longueurs égales, droites parallèles.
- ② Identifier la notion : vecteur, triangle, cercle, transformation, repère ou espace.
- ③ Choisir l'outil : Pythagore, propriétés des quadrilatères, droites remarquables, formules de distance ou de volume.
- ④ Calculer en gardant les valeurs exactes (racines carrées, fractions) jusqu'à la dernière ligne.
- ⑤ Conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec l'unité correcte.
🎯 Un triangle ABC inscrit dans un cercle de diamètre [AB] est :
Bonne réponse : C. Le centre du cercle est le milieu de [AB], donc équidistant des trois sommets : la réciproque du théorème de la médiane donne un angle droit en C.
9. Exercices type concours
Exemple travailléProblème 1 : A(1 ; 1), B(4 ; 5), C(1 ; 5). AB = 5, AC = 4, BC = 3 ; comme AC² + BC² = 16 + 9 = 25 = AB², le triangle est rectangle en C. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de [AB], soit (2,5 ; 3), de rayon 2,5. L'aire vaut (4 × 3) / 2 = 6.
🔍 Problème 2 : le triangle A(1 ; 0), B(3 ; 0), C(1 ; 2) a une aire de 2 ; par l'homothétie de centre O et de rapport 2, l'aire devient 8, et la translation ne la change pas.
🎯 Le cercle de centre O(2 ; 1) et de rayon 5 et la droite y = x − 2 sont :
Bonne réponse : C. La distance du centre à la droite vaut |2 − 1 − 2| / racine de 2, soit environ 0,71, très inférieure au rayon 5 : la droite est sécante (points (6 ; 4) et (−1 ; −3)).
10. Glossaire et fiche finale
Termes de géométrie
| Terme | Définition |
|---|---|
| Vecteur | Segment orienté défini par une direction, un sens et une norme |
| Colinéaires | Vecteurs de même direction : leur déterminant est nul |
| Médiatrice | Droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu |
| Orthocentre | Point de concours des hauteurs |
| Cercle inscrit / circonscrit | Tangent aux côtés / passant par les sommets |
| Homothétie | Transformation de centre O et de rapport k : longueurs × |k|, aires × k² |
| Coefficient directeur | Pente d'une droite : m = Δy / Δx ; parallèles : même m ; perpendiculaires : m × m′ = −1 |
| Patron | Développement à plat d'un solide |
| Non coplanaires | Droites de l'espace ni parallèles ni sécantes |
À retenir — À retenir : vecteurs — Chasles et déterminant nul pour la colinéarité ; triangles — somme des angles 180 degrés et Pythagore ; quadrilatères — les diagonales sont le test le plus rapide ; droites remarquables — médiatrices (cercle circonscrit), bissectrices (cercle inscrit), médianes (centre de gravité aux deux tiers), hauteurs (orthocentre) ; cercle — d > r, d = r, d < r ; transformations — les isométries conservent tout, l'homothétie multiplie les longueurs par |k| et les aires par k² ; repère — AB = racine de (Δx² + Δy²), m = Δy/Δx, perpendiculaires si m × m′ = −1, aire du triangle = moitié du déterminant ; espace — cube a³, pavé abc, prisme B × h, pyramide B × h / 3, cylindre π r² h, cône π r² h / 3, sphère 4 π r³ / 3.
Points de contrôle
- Je sais calculer un déterminant et reconnaître deux vecteurs colinéaires.
- Je sais associer chaque droite remarquable à son point de concours et au cercle correspondant.
- Je sais discuter la position d'une droite et d'un cercle, et de deux cercles.
- Je sais appliquer les formules du repère : distance, milieu, coefficient directeur, perpendicularité, aire.
- Je sais calculer le volume d'un solide et décrire les positions relatives dans l'espace.